कथन-1: श्रेणी 1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + | vedclass

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Question

(C) कथन-$2$ के लिए: यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $\sum_{k=1}^n (k^3 - (k-1)^3) = (1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + \dots + (n^3 - (n-1)^3) = n^3$। अतः,कथन-

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कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है,कथन-$2$ कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

Vedclass · Answer

(C) कथन-$2$ के लिए: यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $\sum_{k=1}^n (k^3 - (k-1)^3) = (1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + \dots + (n^3 - (n-1)^3) = n^3$। अतः,कथन-$2$ सत्य है।कथन-$1$ के लिए: श्रेणी का $k$-वां पद ($k=1$ से शुरू) $T_k = (k-1)^2 + (k-1)k + k^2$ है।ध्यान दें कि $(k-1)^2 + (k-1)k + k^2 = k^3 - (k-1)^3$।यह श्रेणी $\sum_{k=1}^{20} (k^3 - (k-1)^3) = 20^3 = 8000$ है।अंतिम पद $(361 + 380 + 400) = 19^2 + 19 	imes 20 + 20^2$ है,जो $k=20$ के अनुरूप है।अतः,योग $8000$ है। कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$ इसकी सही व्याख्या है।

कथन-$1$: श्रेणी $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ का योग $8000$ है।
कथन-$2$: किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,$\sum_{k=1}^n (k^3 - (k-1)^3) = n^3$.

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$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{n}{{n + 2}}} \right) - {{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum\limits_{r = 0}^{100} {(r^2 + 4r + 4)(r + 1)!}$ का मान :-

मान लीजिए $S_n = \frac{1}{1^3} + \frac{1 + 2}{1^3 + 2^3} + \frac{1 + 2 + 3}{1^3 + 2^3 + 3^3} + \dots + \frac{1 + 2 + \dots + n}{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}$ है। यदि $100 S_n = n$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

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कथन-$1$: श्रेणी $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ का योग $8000$ है।कथन-$2$: किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,$\sum_{k=1}^n (k^3 - (k-1)^3) = n^3$.