प्राकृतिक संख्याओं की श्रेणी को निम्नलिखित सम | vedclass

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Question

(A) $n$ वें समूह में $n$ पद हैं जो एक समांतर श्रेणी में हैं और जिनका सार्व अंतर $1$ है।$n$ वें समूह का प्रथम पद $T_n$,पिछले $(n-1)$ समूहों में पदों की

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$\frac{1}{2}\,[n\,({n^2} + 1)]$

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(A) $n$ वें समूह में $n$ पद हैं जो एक समांतर श्रेणी में हैं और जिनका सार्व अंतर $1$ है।$n$ वें समूह का प्रथम पद $T_n$,पिछले $(n-1)$ समूहों में पदों की कुल संख्या प्लस $1$ है।प्रथम $(n-1)$ समूहों में पदों की संख्या $1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ है।अतः,$n$ वें समूह का प्रथम पद $T_n = \frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ है।$n$ वें समूह के $n$ पदों का योग समांतर श्रेणी के योग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$,जहाँ $a = T_n$ और $d = 1$ है।$S_n = \frac{n}{2} [2(\frac{n^2 - n + 2}{2}) + (n-1)(1)]$$S_n = \frac{n}{2} [n^2 - n + 2 + n - 1]$$S_n = \frac{n}{2} [n^2 + 1] = \frac{1}{2} [n(n^2 + 1)]$.

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मान लीजिए $S_k = \frac{1 + 2 + 3 + .... + k}{k}$ है। यदि $S_1^2 + S_2^2 + ....... + S_{10}^2 = \frac{5}{12}A$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum_{r=1}^{10} r! (r^3 + 6r^2 + 2r + 5) = \alpha(11!)$ है,तो $\alpha$ का मान ...... है.

उस अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए जिसका $n^{th}$ पद $a_{n} = n \frac{n^{2}+5}{4}$ है।

$n$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2}{1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2} < 1.01$ है।

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