यदि n सम है,तो श्रेणी 1^2 + 2 cdot 2^2 + 3^2 | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S_n = 1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + 5^2 + 2 \cdot 6^2 + \dots + T_n$ है। जब $n$ सम है,तो योग $S_n = \frac{n(n+1)^2}{2}$ है

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n^2(n+1)}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $S_n = 1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + 5^2 + 2 \cdot 6^2 + \dots + T_n$ है। जब $n$ सम है,तो योग $S_n = \frac{n(n+1)^2}{2}$ है। जब $n$ विषम है,तो $(n-1)$ वां पद सम होगा। अतः,$S_n = S_{n-1} + T_n$। चूंकि $n-1$ सम है,$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)+1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$। विषम $n$ के लिए $n$-वां पद $T_n = n^2$ है। इसलिए,$S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2 = \frac{n^2(n-1+2)}{2} = \frac{n^2(n+1)}{2}$।

यदि $n$ सम है,तो श्रेणी $1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + 5^2 + 2 \cdot 6^2 + \dots$ के प्रथम $n$ पदों का योग $\frac{n(n+1)^2}{2}$ है,तो जब $n$ विषम है,तब योग क्या होगा?

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$\frac{1^{2}}{2} + \frac{1^{2}+2^{2}}{3} + \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}}{4} + \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}}{5} + \dots$ $8$ पदों तक $=$

$n$ के सभी धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए,$3 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + 3 \cdot n \cdot (n + 1)$ का मान क्या है?

$2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2 = \dots$

$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनुक्रम $27, 9, 5\frac{2}{5}, 3\frac{6}{7}, \dots$ का $9$ वां पद $.....$ है।

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