$n$ के सभी धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए,$3 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + 3 \cdot n \cdot (n + 1)$ का मान क्या है?

यदि श्रेणी $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3^2}-\frac{1}{3^3}\right)+\left(\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^3 \cdot 3}+\frac{1}{2^2 \cdot 3^2}-\frac{1}{2 \cdot 3^3}+\frac{1}{3^4}\right)+\ldots$ का योग $\frac{\alpha}{\beta}$ है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ सह-अभाज्य हैं,तो $\alpha+3\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उन सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए $\frac{1^3+2^3+\ldots+(2n)^3}{1^2+2^2+\ldots+n^2}$ भी एक पूर्णांक है।

यदि प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को उपसमुच्चयों $S_1 = \{1\}, S_2 = \{2, 3\}, S_3 = \{4, 5, 6\}$ इत्यादि में विभाजित किया जाता है,तो $S_{50}$ में पदों का योग क्या है?

अनुक्रम $8, 88, 888, 8888, \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 + \dots$ का $20^{th}$ पद क्या होगा?