$DHOLPUR$ શબ્દના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને $4$ ભિન્ન અક્ષરોવાળા કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય કે જેમાં $L$ અને $P$ હંમેશા સમાવિષ્ટ હોય?

$\binom{n}{r} \div \binom{n}{n-1} = \dots$

જો $6$ સમાન ફળો,$7$ સમાન શાકભાજી અને $8$ સમાન બિસ્કિટ હોય,તો તેમાંથી કોઈપણ સંખ્યામાં વસ્તુઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી દરેક શ્રેણીમાંથી ઓછામાં ઓછી એક વસ્તુ પસંદ કરવામાં આવે.

એક ફળોની ટોપલીમાં $4$ નારંગી,$5$ સફરજન અને $7$ કેરી છે. ટોપલીમાં રહેલા ફળોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$6$ અલગ વસ્તુઓને $2$ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે?

$\binom{n}{r+1} + 2\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \dots$