तीन सदिश vec{a} = hat{i} + hat{j},vec{b} = ha | vedclass

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Question

(D) माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{k} + \hat{i}$ है।तलों के लंबवत इकाई सदिश इस प्रकार हैं:$\vec{\

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$\frac{4}{3\sqrt{3}}$ घन इकाई

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(D) माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{k} + \hat{i}$ है।तलों के लंबवत इकाई सदिश इस प्रकार हैं:$\vec{\alpha} = \frac{\vec{a} 	imes \vec{b}}{|\vec{a} 	imes \vec{b}|}$,$\vec{\beta} = \frac{\vec{b} 	imes \vec{c}}{|\vec{b} 	imes \vec{c}|}$,और $\vec{\gamma} = \frac{\vec{c} 	imes \vec{a}}{|\vec{c} 	imes \vec{a}|}$.इन सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $|[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]|$ है।$|[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]| = \frac{|[\vec{a} 	imes \vec{b}, \vec{b} 	imes \vec{c}, \vec{c} 	imes \vec{a}]|}{|\vec{a} 	imes \vec{b}| |\vec{b} 	imes \vec{c}| |\vec{c} 	imes \vec{a}|} = \frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2}{|\vec{a} 	imes \vec{b}| |\vec{b} 	imes \vec{c}| |\vec{c} 	imes \vec{a}|}$.सबसे पहले,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ ज्ञात करें:$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) - 1(0-1) + 0 = 1 + 1 = 2$.अब,सदिश गुणनफल ज्ञात करें:$\vec{a} 	imes \vec{b} = (\hat{i} + \hat{j}) 	imes (\hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.$\vec{b} 	imes \vec{c} = (\hat{j} + \hat{k}) 	imes (\hat{k} + \hat{i}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.$\vec{c} 	imes \vec{a} = (\hat{k} + \hat{i}) 	imes (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.प्रत्येक सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} 	imes \vec{b}| = |\vec{b} 	imes \vec{c}| = |\vec{c} 	imes \vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।अतः,आयतन $\frac{2^2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ घन इकाई है।

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यदि सदिश $2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$,$\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}$,और $4\hat{i}+p\hat{j}+\hat{k}$ समतलीय हैं,तो $p=$

यदि सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,और $\vec{c}=3 \hat{i}+p \hat{j}+5 \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $p=$

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