a के किस मान के लिए सदिशों i + aj + k,j + ak | vedclass

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Question

(C) समांतर षट्फलक का आयतन $V$,सदिशों के अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।दिए गए सदिश $\vec{u} = (1, a,

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(C) समांतर षट्फलक का आयतन $V$,सदिशों के अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।दिए गए सदिश $\vec{u} = (1, a, 1)$,$\vec{v} = (0, 1, a)$ और $\vec{w} = (a, 0, 1)$ हैं।$V = |\det(\begin{bmatrix} 1 & a & 1 \ 0 & 1 & a \ a & 0 & 1 \end{bmatrix})| = |1(1-0) - a(0-a^2) + 1(0-a)| = |1 + a^3 - a|$.मान लीजिए $f(a) = a^3 - a + 1$ है। न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $f(a)$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$f'(a) = 3a^2 - 1$.$f'(a) = 0$ रखने पर,हमें $3a^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $a^2 = \frac{1}{3}$,अर्थात $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ मिलता है।चूंकि आयतन हमेशा धनात्मक होना चाहिए,हम इसके मान की जांच करते हैं। $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f(a) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} > 0$.दिए गए विकल्पों के अनुसार,$a$ का वह मान जो आयतन को न्यूनतम करता है,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ समीकरण $2 \sin ^2 \theta + \sin ^2 2 \theta = 2$ के मूल	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ फलन $f(x) = [\frac{6x}{\pi}] \cos [\frac{3x}{\pi}]$ के असातत्य के बिंदु,जहाँ $[y]$ का अर्थ $y$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है	$(q)$ $\frac{\pi}{4}$
$(C)$ समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे सदिशों $\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण,जहाँ $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश हैं जो $\vec{a}+\vec{b}+\sqrt{3}\vec{c}=\overrightarrow{0}$ को संतुष्ट करते हैं	$(s)$ $\frac{\pi}{2}$
	$(t)$ $\pi$

$a$ के किस मान के लिए सदिशों $i + aj + k$,$j + ak$ और $ai + k$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होगा?

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यदि $3 \hat{i}+3 \hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$,$\hat{i}+\hat{k}$,और $\sqrt{3} \hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}+\lambda \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec p$ और $\vec q$ इकाई सदिश हैं,इस प्रकार कि $[\vec p, \vec q, \vec p \times \vec q] = \frac{1}{2}$,तो $\vec p$ और $\vec q$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

$a \cdot [(b + c) \times (a + b + c)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $v = 2i + j - k$ और $w = i + 3k$ है। यदि $u$ कोई इकाई सदिश है, तो अदिश त्रिक गुणनफल $[u v w]$ का अधिकतम मान क्या है?

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