समीकरण $(p - 2)x^2 + 2(p - 2)x + 2 = 0$ के कोई वास्तविक मूल कब नहीं होंगे?

यदि दिए गए समीकरण $({m^2} + 1){x^2} + 2amx + {a^2} - {b^2} = 0$ के मूल समान हैं,तो:

मान लीजिए $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $z$ का काल्पनिक भाग शून्य नहीं है और $a = z^2 + z + 1$ वास्तविक है। तो $a$ का मान क्या नहीं हो सकता?

मान लीजिए $R^2$,$R \times R$ को दर्शाता है। मान लीजिए $S = \{(a, b, c) : a, b, c \in R \text{ और } ax^2 + 2bxy + cy^2 > 0, \text{ सभी } (x, y) \in R^2 - \{(0, 0)\} \text{ के लिए }\}$। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A) (2, \frac{7}{2}, 6) \in S$
$(B) \text{यदि } (3, b, \frac{1}{12}) \in S, \text{ तो } |2b| < 1$
$(C) \text{किसी भी दिए गए } (a, b, c) \in S \text{ के लिए, रैखिक समीकरण निकाय } ax + by = 1, bx + cy = -1 \text{ का एक अद्वितीय हल है.}$
$(D) \text{किसी भी दिए गए } (a, b, c) \in S \text{ के लिए, रैखिक समीकरण निकाय } (a+1)x + by = 0, bx + (c+1)y = 0 \text{ का एक अद्वितीय हल है.}$

यदि समीकरण $3x^2 + 4kx + 3 = 0$ के मूल वास्तविक नहीं हैं,तो $k$ किस अंतराल में स्थित है?

समीकरण $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{13}{12}$ को संतुष्ट करने वाले धनात्मक पूर्णांकों $x$ की संख्या है: