यदि alpha और beta समीकरण ax^2 + bx + c = 0 (a | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \beta = \frac{c}{a}$।व्यंजक $E = (1 + \alpha + \alpha^2)(1 + \beta + \beta^2)$ पर विचार करे

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धनात्मक

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \beta = \frac{c}{a}$।व्यंजक $E = (1 + \alpha + \alpha^2)(1 + \beta + \beta^2)$ पर विचार करें।गुणनफल का विस्तार करने पर:$E = 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha^2 + \beta^2) + \alpha \beta + \alpha \beta(\alpha + \beta) + (\alpha \beta)^2$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ का उपयोग करते हुए:$E = 1 + (\alpha + \beta) + ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta) + \alpha \beta + \alpha \beta(\alpha + \beta) + (\alpha \beta)^2$$\alpha + \beta$ और $\alpha \beta$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:$E = 1 - \frac{b}{a} + (\frac{b^2}{a^2} - 2\frac{c}{a}) + \frac{c}{a} + \frac{c}{a}(-\frac{b}{a}) + \frac{c^2}{a^2}$$E = \frac{a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{a^2}$$E = \frac{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}{2a^2}$चूंकि वर्गों का योग गैर-ऋणात्मक है और $a 
eq 0$ है,इसलिए यह व्यंजक धनात्मक है।

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$; $a, b, c \in \mathbb{R}$) के मूल हैं,तो $(1 + \alpha + \alpha^2)(1 + \beta + \beta^2)$ है . . . .

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