समतल $\bar{r} \cdot (1, 2, 1) = 1$ और रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: बिंदु $(4, 4, 4)$ से और समतलों $x + y + z = 6$ तथा $2x + 3y + 4z = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $29x + 23y + 17z = 276$ है।
कारण $(R)$: समतलों $P_1 = 0$ और $P_2 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0, \lambda \in \mathbb{R}$ है।

मान लीजिए $L_1$ समीकरणों $2x+3y+z=4$ और $x+2y+z=5$ द्वारा दिए गए समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा है। मान लीजिए $L_2$ बिंदु $P(2,-1,3)$ से गुजरने वाली और $L_1$ के समानांतर रेखा है। मान लीजिए $M$ समीकरण $2x+y-2z=6$ द्वारा दिया गया समतल है। मान लीजिए कि रेखा $L_2$ समतल $M$ से बिंदु $Q$ पर मिलती है। मान लीजिए $R$,$P$ से समतल $M$ पर खींचे गए लंब का पाद है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $9\sqrt{3}$ है
$(B)$ रेखाखंड $QR$ की लंबाई $15$ है
$(C)$ $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $\frac{3}{2}\sqrt{234}$ है
$(D)$ रेखाखंड $PQ$ और $PR$ के बीच का न्यून कोण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$ है

मान लीजिए कि $Q$,बिंदु $P(1, 2, 3)$ से समतल $x + 2y + z = 14$ पर खींचे गए लंब का पाद है। यदि $R$ समतल पर एक ऐसा बिंदु है कि $\angle PRQ = 60^{\circ}$ है,तो $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल किसके बराबर है?

बिंदु $P(3,4,4)$ की बिंदुओं $Q(3,-4,-5)$ और $R(2,-3,1)$ को जोड़ने वाली रेखा और समतल $2x+y+z=7$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी $.....$ है।

रेखा $\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+\lambda(3\hat{i}+\hat{j})$ और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})=8$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।