ધારો કે $A (1, 3, 5)$ અને $B (-2, 3, -4)$ બે બિંદુઓ છે. જો બિંદુ $P(x, y, z)$ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $PA^2 - PB^2 = 6c$ થાય,તો $P$ નો બિંદુપથ શોધો.

જો $\mathbb{R}$ માં અમુક $\alpha$ અને $\beta$ માટે,નીચેના ત્રણ સમતલો $x+4y-2z=1$,$x+7y-5z=\beta$,અને $x+5y+\alpha z=5$ નો છેદ $\mathbb{R}^{3}$ માં એક રેખા હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.

એક ચલ સમતલ એક નિશ્ચિત બિંદુ $(3, 2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x, y,$ અને $z$ અક્ષોને અનુક્રમે $A, B,$ અને $C$ માં મળે છે. $A$ માંથી પસાર થતું અને $yz$-સમતલને સમાંતર એક સમતલ,$B$ માંથી પસાર થતું અને $zx$-સમતલને સમાંતર બીજું સમતલ,અને $C$ માંથી પસાર થતું અને $xy$-સમતલને સમાંતર ત્રીજું સમતલ દોરવામાં આવે છે. તો આ ત્રણ સમતલોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.

જો એક સમતલ યામ અક્ષોને $A, B$ અને $C$ બિંદુએ એવી રીતે મળે છે કે જેથી ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(1, 2, 4)$ હોય,તો સમતલનું સમીકરણ શોધો.

સમતલ $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k})$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર કેટલું છે?

ધારો કે $R^3$ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ દર્શાવે છે. બે બિંદુઓ $P=(1, 2, 3)$ અને $Q=(4, 2, 7)$ લો. ધારો કે $\operatorname{dist}(X, Y)$ એ $R^3$ માં બે બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે. ધારો કે
$S=\{X \in R^3: (\operatorname{dist}(X, P))^2 - (\operatorname{dist}(X, Q))^2 = 50\}$
$T=\{Y \in R^3: (\operatorname{dist}(Y, Q))^2 - (\operatorname{dist}(Y, P))^2 = 50\}$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ એક એવો ત્રિકોણ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $1$ છે અને તેના બધા શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી છે.
$(B)$ $T$ માં બે અલગ બિંદુઓ $L$ અને $M$ છે જેથી રેખાખંડ $LM$ પરનું દરેક બિંદુ પણ $T$ માં હોય.
$(C)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતા અનંત લંબચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.
$(D)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતો એક ચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.