$k$ के किस मान के लिए समतल $kx + 4y + z = 0$,$4x + ky + 2z = 0$ और $2x + 2y + z = 0$ एक ही रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं?

मान लीजिए $P(\lambda, 2, 1)$ उस समतल पर एक बिंदु है जो बिंदु $Q(4, -2, 2)$ से होकर गुजरता है। यदि समतल बिंदुओं $A(-2, -21, 29)$ और $B(-1, -16, 33)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है,तो $\left(\frac{\lambda}{11}\right)^{2} - \frac{4\lambda}{11} - 4$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1, 2, -3)$ से गुजरने वाले और समतल $3x - 5y + 2z = 11$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक चतुष्फलक के शीर्ष $P(2,1,3)$,$Q(-1,1,2)$,$R(1,2,1)$ और $O(0,0,0)$ हैं। फलकों $OPQ$ और $PQR$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि $M$,बिंदु $P(1, 2, -1)$ से बिंदु $A(3, -2, 1)$ से गुजरने वाले और सदिश $4\hat{i} + 7\hat{j} - 4\hat{k}$ के लंबवत समतल पर खींचे गए लंब का पाद है,तो $PM$ की लंबाई,उचित इकाइयों में,क्या है?

एक समतल निर्देशांक अक्षों को $A, B, C$ पर इस प्रकार मिलता है कि त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $(1, r, r^2)$ है। समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।