રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને ક્યારે સ્પર્શે?

બિંદુ $(3,5)$ માંથી ઉપવલયો $3x^2 + 5y^2 = 32$ અને $25x^2 + 9y^2 = 450$ પર દોરી શકાય તેવા સ્પર્શકોની કુલ સંખ્યા કેટલી છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ ની જીવાની લંબાઈ શોધો,જેનું મધ્યબિંદુ $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ હોય.

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$, જ્યાં $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$, આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષને $T$ માં અને $y$-અક્ષને $T_1$ માં છેદે છે. તો $\min_{0 < \theta < \frac{\pi}{2}} (OT)(OT_1)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $P \left(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}}\right), Q, R$ અને $S$ એ ઉપવલય $9x^2 + 4y^2 = 36$ પરના ચાર બિંદુઓ છે. ધારો કે $PQ$ અને $RS$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી પરસ્પર લંબ જીવાઓ છે. જો $\frac{1}{(PQ)^2} + \frac{1}{(RS)^2} = \frac{p}{q}$,જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તો $p+q$ ની કિંમત $.........$ થાય.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ પરના બિંદુનું કેન્દ્રથી અંતર $2$ હોય,તો તેનો ઉત્કેન્દ્રીકોણ (Eccentric Angle) $\varphi$ શોધો.