જેનો પ્રધાન અક્ષ $8$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $1/2$ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો $(a > b)$।

ઉપવલય $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{1}=1$ પર બિંદુ $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ $\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ આગળ સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે. $\theta$ ની કઈ કિંમત માટે આ સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડોનો સરવાળો ન્યૂનતમ થાય છે?

$\frac{x^2}{12-\alpha} + \frac{y^2}{\alpha-10} = 1$ દ્વારા દર્શાવેલ વક્ર એ

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b)$ ની નાભિલંબની લંબાઈ $30$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા વિધેય $f(t)=-\frac{3}{4}+2t-t^{2}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય હોય, તો $(a^{2}+b^{2})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a > b$. ધારો કે $E_{2}$ એ બીજો ઉપવલય છે જે $E_{1}$ ની મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓને સ્પર્શે છે અને $E_{2}$ ના નાભિઓ એ $E_{1}$ ની ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે. જો $E_{1}$ અને $E_{2}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ સમાન હોય,તો $e$ નું મૂલ્ય શોધો:

એક બિંદુ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $(ae, 0)$ અને $(-ae, 0)$ થી તેના અંતરનો સરવાળો હંમેશા $2a$ રહે છે. તો તેના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.