જો વર્તુળ $C_1 : x^{2} + y^{2} = 16$ એ $5$ ત્રિજ્યાવાળા બીજા વર્તુળ $C_2$ ને એવી રીતે છેદે કે જેથી સામાન્ય જીવાની લંબાઈ મહત્તમ થાય અને તેનો ઢાળ $3/4$ હોય,તો $C_2$ ના કેન્દ્રના યામ શું હશે?

$C_1$ એ $O(0,0)$ કેન્દ્ર અને $4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે,$C_2$ એ $(\alpha, \beta)$ કેન્દ્ર અને $5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું ચલ વર્તુળ છે. જો $C_1$ અને $C_2$ ની સામાન્ય જીવાનો ઢાળ $\frac{3}{4}$ હોય અને તે મહત્તમ લંબાઈની હોય,તો $\alpha+\beta$ ની શક્ય કિંમતો પૈકીની એક કિંમત છે

આપેલ છે કે $a > 2b > 0$ અને રેખા $y = mx - b \sqrt{1 + m^2}$ એ વર્તુળો $x^2 + y^2 = b^2$ અને $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે. તો $m$ નું ધન મૂલ્ય શોધો.

વર્તુળો $x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0$ ની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ શોધો.

રેખા $3x-y+k=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-6y+3=0$ ને સ્પર્શે છે. જો $k_1, k_2$ $(k_1 < k_2)$ એ $k$ ની બે કિંમતો હોય,તો આપેલ વર્તુળના સંદર્ભમાં બિંદુ $(k_1, k_2)$ ની સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ શું થાય?

$15$ અને $20$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળો,જેમના કેન્દ્રો એકબીજાથી $25$ એકમ દૂર છે,તેમની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ શોધો.