परवलय y^2 = 4x और दीर्घवृत्त frac{x^2}{4} + f | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^2 = 4x$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।यदि यह रेखा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ की स्पर्शरेखा है,तो

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$x + 2y + 4 = 0$

Vedclass · Answer

(A) परवलय $y^2 = 4x$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।यदि यह रेखा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ की स्पर्शरेखा है,तो इसे $c^2 = a^2m^2 + b^2$ शर्त को संतुष्ट करना चाहिए,जहाँ $c = \frac{1}{m}$,$a^2 = 4$,और $b^2 = 3$ है।इन मानों को रखने पर: $(\frac{1}{m})^2 = 4m^2 + 3$ प्राप्त होता है।माना $m^2 = t$,तब $\frac{1}{t} = 4t + 3$,जिसका अर्थ है $4t^2 + 3t - 1 = 0$ है।द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(4t - 1)(t + 1) = 0$ प्राप्त होता है।चूँकि $t = m^2$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = \frac{1}{4}$,अर्थात $m = \pm \frac{1}{2}$ है।$m = \frac{1}{2}$ के लिए,स्पर्शरेखा $y = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow x - 2y + 4 = 0$ है।$m = -\frac{1}{2}$ के लिए,स्पर्शरेखा $y = -\frac{1}{2}x - 2 \Rightarrow x + 2y + 4 = 0$ है।

परवलय $y^2 = 4x$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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