જો રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ એક ચલિત રેખા હોય કે જેથી $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}$,તો ઉગમબિંદુમાંથી રેખા પરના લંબપાદનું બિંદુપથ શોધો:

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક ચલ રેખા $L$ બે સમાંતર રેખાઓ $x-y+10=0$ અને $x-y+20=0$ ને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો $P$ એ રેખા $L$ પરનું એવું બિંદુ હોય કે જેથી $OA, OP, OB$ હરાત્મક શ્રેણીમાં હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ શોધો.

ધારો કે $A=(1, 2)$,$B=(2, 1)$,અને $C=(-1, -1)$ ત્રણ બિંદુઓ છે. જો $P(x, y)$ એવું બિંદુ હોય કે જેથી ચતુષ્કોણ $PABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ $PAB$ ના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું હોય,તો $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે આપણે $XY$-સમતલને સમાન ટાઇલ્સથી એવી રીતે આવરી લેવું છે કે જેથી કોઈ પણ બે ટાઇલ્સ એકબીજા પર ઓવરલેપ ન થાય અને ટાઇલ્સ વચ્ચે કોઈ જગ્યા ન રહે. ધારો કે આપણે નીચેના આકારોની ટાઇલ્સ પસંદ કરી શકીએ છીએ: સમબાજુ ત્રિકોણ,ચોરસ,નિયમિત પંચકોણ,નિયમિત ષટ્કોણ. તો,ટાઇલિંગ કયા આકારોની ટાઇલ્સ વડે કરી શકાય?

$P(x, y)$ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $P, Q(a, 2a)$ અને $R(-a, -2a)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ $P, S(a, 2a)$ અને $T(2a, 3a)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું થાય. $P$ નો બિંદુપથ એક સીધી રેખા છે જે નીચે મુજબ છે:

રેખાઓ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = K$ અને $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{K}$ ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ, જ્યાં $K$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક ચલ છે, તે શું દર્શાવે છે?