दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$ के बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए:

एक दीर्घवृत्त में $OB$ अर्ध-लघु अक्ष है,$F$ और $F'$ इसकी नाभियाँ हैं और कोण $\angle FBF'$ एक समकोण है। तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या है?

$(2, 1)$ से गुजरने वाली प्रकाश की एक किरण $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ पर परावर्तित होती है और फिर $(5, 3)$ बिंदु से गुजरती है। यदि यह परावर्तित किरण $e = \frac{1}{3}$ उत्केंद्रता वाले एक दीर्घवृत्त की नियता (directrix) है और इस नियता से निकटतम नाभि (focus) की दूरी $\frac{8}{\sqrt{53}}$ है,तो दूसरी नियता का समीकरण क्या हो सकता है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ पर,मान लीजिए $P$ दूसरे चतुर्थांश में एक ऐसा बिंदु है कि $P$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा रेखा $x+2y=0$ के लंबवत है। मान लीजिए $S$ और $S'$ दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं और $e$ इसकी उत्केंद्रता है। यदि $A$ त्रिभुज $SPS'$ का क्षेत्रफल है,तो $(5-e^{2}) \cdot A$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(4,3)$ और दीर्घवृत्त $x^{2}+2y^{2}=4$ पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है,जिसकी उत्केंद्रता है:

यदि $l$ और $b$ दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=64$ में अंतर्निहित अधिकतम क्षेत्रफल वाले आयत की लंबाई और चौड़ाई हैं,तो $(l, b) =$