मान लीजिए $A = (a, 0)$ और $B = (-a, 0)$ दो स्थिर बिंदु हैं। $a \in (-\infty, 0)$ के लिए,बिंदु $P(x, y)$ समतल में इस प्रकार गति करता है कि $PA = nPB$ $(n \neq 0, 1)$। यदि $n = 1$ है,तो बिंदु $P$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

यदि एक बिंदु $(x, y) \equiv (\tan \theta + \sin \theta, \tan \theta - \sin \theta)$ है,तो $(x, y)$ का बिंदुपथ क्या है?

$8$ इकाई लंबाई की एक छड़ इस प्रकार चलती है कि इसके सिरे $A$ और $B$ हमेशा रेखाओं $x-y+2=0$ और $y+2=0$ पर स्थित रहते हैं। यदि बिंदु $P$ का बिंदुपथ,जो छड़ $AB$ को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,$9(x^2+\alpha y^2+\beta xy+\gamma x+28y)-76=0$ है,तो $\alpha-\beta-\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

$10 \text{ inches}$ लंबी पेंसिल $AB$ जिसका मध्य बिंदु $C$ है और एक छोटा इरेज़र $P$ मेज की सतह पर इस प्रकार रखे गए हैं कि $PC = \sqrt{5} \text{ inches}$ और $\angle PCB = \tan^{-1}(2)$ है। पेंसिल को $C$ के परितः कितने न्यून कोण से घुमाया जाना चाहिए ताकि इरेज़र और पेंसिल के बीच की लंबवत दूरी ठीक $1 \text{ inch}$ हो जाए?

बिंदु $(1, 2)$ से गुजरने वाली एक रेखा अक्षों को $P$ और $Q$ पर इस प्रकार मिलती है कि यह एक त्रिभुज $OPQ$ बनाती है,जहाँ $O$ मूलबिंदु है। यदि त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल न्यूनतम है,तो रेखा $PQ$ की ढाल क्या है?

एक कण को लंबवत ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। यदि इसे $12 \text{ सेकंड}$ तक जमीन से ऊपर रहना है, तो: