द्विघात समीकरण $5x^2 + 8xy + 5y^2 + 3x + 2y + 5 = 0$ से $xy$ पद को हटाने के लिए अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाया जाता है। $\theta$ का मान क्या है?

यदि $(1, -2)$ से गुजरने वाली जीवा वक्र $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ को $P$ और $Q$ पर काटती है,तो मूल बिंदु पर $PQ$ द्वारा अंतरित कोण क्या है ($^{\circ}$ में)?

वक्र $x^{2}+4xy+8y^{2}=64$ के लिए, स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के समानांतर केवल किन बिंदुओं पर हैं?

समीकरण $2x^2 + 4xy + 5y^2 - 4x - 22y + 29 = 0$ को समघातीय रूप में बदलने के लिए मूल बिंदु को किस बिंदु पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए?

समीकरण $x^2 - 2xy + y^2 + 3x + 2 = 0$ क्या दर्शाता है?

रेखाओं $L_1$ और $L_2$ पर विचार करें जो $L_1: x \sqrt{2} + y - 1 = 0$ और $L_2: x \sqrt{2} - y + 1 = 0$ द्वारा परिभाषित हैं। एक निश्चित स्थिरांक $\lambda$ के लिए,मान लें कि $C$ एक बिंदु $P$ का बिंदुपथ है ताकि $P$ की $L_1$ से दूरी और $P$ की $L_2$ से दूरी का गुणनफल $\lambda^2$ हो। रेखा $y = 2x + 1$ बिंदु $C$ से दो बिंदुओं $R$ और $S$ पर मिलती है,जहाँ $R$ और $S$ के बीच की दूरी $\sqrt{270}$ है। मान लें कि $RS$ का लंब समद्विभाजक $C$ से दो अलग-अलग बिंदुओं $R^{\prime}$ और $S^{\prime}$ पर मिलता है। मान लें कि $D$,$R^{\prime}$ और $S^{\prime}$ के बीच की दूरी का वर्ग है।
$(1)$ $\lambda^2$ का मान है
$(2)$ $D$ का मान है