वक्र sqrt{x} + sqrt{y} = sqrt{a} पर किन बिंदु | vedclass

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Question

(A) वक्र $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता ह

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$(a, 0), (0, a), (a/4, a/4)$

Vedclass · Answer

(A) वक्र $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$ मिलता है।$(i)$ यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,तो $\frac{dy}{dx} = 0$ होगा। इसका अर्थ है $y = 0$। वक्र के समीकरण में $y = 0$ रखने पर,$\sqrt{x} = \sqrt{a}$ प्राप्त होता है,अतः $x = a$। बिंदु $(a, 0)$ है।$(ii)$ यदि स्पर्श रेखा $y$-अक्ष के समांतर है,तो $\frac{dy}{dx} = \infty$ होगा। इसका अर्थ है $x = 0$। वक्र के समीकरण में $x = 0$ रखने पर,$\sqrt{y} = \sqrt{a}$ प्राप्त होता है,अतः $y = a$। बिंदु $(0, a)$ है।$(iii)$ यदि स्पर्श रेखा दोनों अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,तो इसकी ढाल $\frac{dy}{dx} = \pm 1$ होगी। अतः,$-\sqrt{\frac{y}{x}} = \pm 1$,जिसका अर्थ है $\frac{y}{x} = 1$,यानी $y = x$। वक्र के समीकरण में $y = x$ रखने पर,$2\sqrt{x} = \sqrt{a}$ प्राप्त होता है,जिससे $\sqrt{x} = \frac{\sqrt{a}}{2}$,अर्थात $x = \frac{a}{4}$। चूँकि $y = x$,इसलिए $y = \frac{a}{4}$। बिंदु $(\frac{a}{4}, \frac{a}{4})$ है।अतः,बिंदु $(a, 0), (0, a), (a/4, a/4)$ हैं।

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