फलन f(x) = frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} किस प | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$ है।यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \r

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वर्धमान (Increasing)

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(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$ है।यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।मान लीजिए $u = e^{2x} - 1$ और $v = e^{2x} + 1$ है। तब $u' = 2e^{2x}$ और $v' = 2e^{2x}$ होगा।$f'(x) = \frac{(2e^{2x})(e^{2x} + 1) - (e^{2x} - 1)(2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$$f'(x) = \frac{2e^{4x} + 2e^{2x} - (2e^{4x} - 2e^{2x})}{(e^{2x} + 1)^2}$$f'(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$.चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{2x} > 0$ होता है,इसलिए $4e^{2x} > 0$ और $(e^{2x} + 1)^2 > 0$ होगा।अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।चूंकि अवकलज धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।

फलन $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$ किस प्रकार का फलन है?

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वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें फलन $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-36x+7$ द्वारा प्रदत्त फलन:
$(a)$ वर्धमान है
$(b)$ ह्रासमान है

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