यदि f(x) = x^{alpha} log x, x 0, f(0) = 0 औ | vedclass

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Question

(D) $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को लागू करने के लिए,फलन $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत और $(0, 1)$ पर अवकलनीय होना चाहिए,जहाँ $f(0) = f(1)$ हो।दिया गया है क

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$1/2$

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(D) $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को लागू करने के लिए,फलन $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत और $(0, 1)$ पर अवकलनीय होना चाहिए,जहाँ $f(0) = f(1)$ हो।दिया गया है कि $f(0) = 0$ और $f(1) = 1^{\alpha} \log(1) = 0$,इसलिए $f(0) = f(1)$ की शर्त किसी भी $\alpha$ के लिए संतुष्ट होती है।$x = 0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए।$\lim_{x 	o 0^+} x^{\alpha} \log x = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\log x}{x^{-\alpha}}$।एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर,यह सीमा $\lim_{x 	o 0^+} \frac{1/x}{-\alpha x^{-\alpha-1}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{x^{\alpha}}{-\alpha} = 0$ होती है,यदि $\alpha > 0$ हो।विकल्पों की जाँच करने पर,$\alpha = 1/2$ के लिए सीमा $0$ प्राप्त होती है,जो सांतत्य की शर्त को संतुष्ट करती है।अतः,$\alpha = 1/2$ सही मान है।

यदि $f(x) = x^{\alpha} \log x, x > 0, f(0) = 0$ और $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $\alpha$ का मान क्या है?

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