વિધાન-I: સંખ્યાઓ 1, 2^{1/2}, 3^{1/3}, 4^{1/4} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ ને $x > 0$ માટે ધ્યાનમાં લો.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{f'(x

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન-$I$ સાચું છે,વિધાન-$II$ સાચું છે. વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ ને $x > 0$ માટે ધ્યાનમાં લો.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln(x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.આમ,$f'(x) = x^{1/x} \left( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \right)$.જ્યારે $1 - \ln(x) > 0$ હોય ત્યારે $f'(x) > 0$,એટલે કે $\ln(x) જ્યારે $1 - \ln(x)  1$,જેનો અર્થ છે $x > e$.તેથી,વિધાન-$II$ સાચું છે.હવે,$e \approx 2.718$. $2 $2^{1/2}$ અને $3^{1/3}$ ની સરખામણી કરતા: $2 $3^{1/3}$ અને $4^{1/4}$ ની સરખામણી કરતા: $3 $x > e$ માટે $f(x)$ ઘટતું હોવાથી,$f(3) > f(4) > f(5) > f(6) > f(7)$.આમ,આપેલી સંખ્યાઓમાંથી $3^{1/3}$ એ ખરેખર મહત્તમ કિંમત છે.તેથી,વિધાન-$I$ સાચું છે અને વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

Similar Questions

જો $f(x)=a \log |x|+b x^2+x$ ને $x=-1$ અને $x=2$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો (extreme values) હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)=$

વક્ર $f(x) = e^x \sin x$ એ અંતરાલ $[0, 2 \pi]$ માં વ્યાખ્યાયિત છે. $x$ ની કઈ કિંમત માટે વક્ર પર દોરેલા સ્પર્શકનો ઢાળ મહત્તમ થાય છે?

ત્રિકોણની બે બાજુઓ આપેલી છે. જો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય,તો આપેલી બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો હશે ($^{\circ}$ માં)?

$f(x) = (7-x)^4 (2+x)^5$ ની મહત્તમ કિંમત શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module