यदि 27a + 9b + 3c + d = 0 है,तो समीकरण 4ax^3 | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ है। तब,$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$ होगा। हमें दिया गया है कि $f'(x) = 0$ का कम से कम एक मूल है। $x

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$0$ और $3$

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(C) माना $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ है। तब,$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$ होगा। हमें दिया गया है कि $f'(x) = 0$ का कम से कम एक मूल है। $x=0$ और $x=3$ पर $f(x)$ के मानों पर विचार करें: $f(0) = a(0)^4 + b(0)^3 + c(0)^2 + d(0) + e = e$। $f(3) = a(3)^4 + b(3)^3 + c(3)^2 + d(3) + e = 81a + 27b + 9c + 3d + e$। हम $f(3)$ को $f(3) = 3(27a + 9b + 3c + d) + e$ के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि $27a + 9b + 3c + d = 0$ दिया गया है,इसलिए $f(3) = 3(0) + e = e$ होगा। अतः,$f(0) = f(3) = e$ है। चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 3]$ पर सतत है और $(0, 3)$ पर अवकलनीय है। रोले के प्रमेय के अनुसार,$(0, 3)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = 0$ हो। इसलिए,समीकरण $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0$ का कम से कम एक मूल अंतराल $(0, 3)$ में स्थित है।

यदि $27a + 9b + 3c + d = 0$ है,तो समीकरण $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0$ का कम से कम एक मूल किसके बीच स्थित है?

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यदि $[1, 3]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ के लिए रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$ है, तो $f(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है क्योंकि

मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है। तो:

मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो सभी $x \ge x_0$ के लिए परिभाषित और अवकलनीय हैं। यदि $f(x_0) = g(x_0)$ और सभी $x > x_0$ के लिए $f'(x) > g'(x)$ है,तो:

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