मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f(a)=0=f(b)$ और कुछ $a < b$ के लिए $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) > 0$ है। तो,अंतराल $(a, b)$ में $f^{\prime}(x)=0$ के मूलों की न्यूनतम संख्या है

$f:[1,3] \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x)=x^3+a x^2+b x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $f(1)-f(3)=0$ और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है, तो $a-b$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ अंतराल $[1,3]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $b c=$

यदि $f(x) = x^\alpha \log x$ और $f(0) = 0$ है,तो $\alpha$ का वह मान जिसके लिए $[0, 1]$ में रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है,है

यदि फलन $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ अंतराल $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ है,तो $p$ और $q$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x)$ एक गैर-स्थिर दो बार अवकलनीय फलन है जो $(-\infty, \infty)$ पर परिभाषित है,इस प्रकार कि $f(x)=f(1-x)$ और $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ है। तब
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ अंतराल $[0,1]$ पर कम से कम दो बार शून्य होता है
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$