int_{0}^{pi} [cot x] dx = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi} [\cot x] dx$. गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{0

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$-\frac{\pi}{2}$

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(C) माना $I = \int_{0}^{\pi} [\cot x] dx$. गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_{0}^{\pi} [\cot(\pi - x)] dx = \int_{0}^{\pi} [-\cot x] dx$. $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{0}^{\pi} ([\cot x] + [-\cot x]) dx$. हम जानते हैं कि किसी भी $y 
otin \mathbb{Z}$ के लिए,$[y] + [-y] = -1$ होता है,और $y \in \mathbb{Z}$ के लिए,$[y] + [-y] = 0$ होता है। फलन $\cot x$ बिंदु $x=0, \pi/2, \pi$ पर परिभाषित नहीं है। $x=\pi/2$ पर,$\cot x = 0$ है,इसलिए $[0] + [0] = 0$ होता है। अन्य सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए,$\cot x$ पूर्णांक नहीं है। अतः,$(0, \pi)$ में लगभग हर जगह $[\cot x] + [-\cot x] = -1$ होता है। $2I = \int_{0}^{\pi} (-1) dx = -\pi$. इसलिए,$I = -\frac{\pi}{2}$.

$\int_{0}^{\pi} [\cot x] dx = $

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$x > 0$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log t}{1+t} dt$. तो $f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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