int_{-1}^3left(cot ^{-1}left(frac{x}{x^2+1}ri | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-1}^3 \left(\cot^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx$. हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(u

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$2\pi$

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(D) माना $I = \int_{-1}^3 \left(\cot^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}ight) + \cot^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}ight)ight) dx$. हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(u) = 	an^{-1}(\frac{1}{u})$ जब $u > 0$ हो। अतः,$\cot^{-1}(\frac{x}{x^2+1}) = 	an^{-1}(\frac{x^2+1}{x})$ जब $x > 0$ हो। साथ ही,$	an^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ सभी $u \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है। इस प्रकार,समाकल्य (integrand) $x 
eq 0$ के लिए $\frac{\pi}{2}$ हो जाता है। $I = \int_{-1}^3 \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x]_{-1}^3$. $I = \frac{\pi}{2} (3 - (-1)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2\pi$.

$\int_{-1}^3\left(\cot ^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) d x=$

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