$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \dots$

ધારો કે $g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$,જ્યાં $f$ એ $[0, 3]$ માં સતત વિધેય છે જેથી તમામ $t \in [0, 1]$ માટે $\frac{1}{3} \leq f(t) \leq 1$ અને તમામ $t \in (1, 3]$ માટે $0 \leq f(t) \leq \frac{1}{2}$ થાય. $g(3)$ જે અંતરાલમાં આવે છે તે સૌથી મોટો શક્ય અંતરાલ કયો છે?

$\int_{-2}^{2}\left|3 x^{2}-3 x-6\right| d x$ નું મૂલ્ય ...... છે.

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} = $

જો $I_n = \int_0^{\pi / 2} \sin^n(x) dx$ અને $I_n = (k) I_{n-2}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શું થશે?

નીચેના ગાણિતિક વિધાનોને ધ્યાનપૂર્વક વાંચો:
$I.$ $x = c$ પર મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવતું વિકલનીય વિધેય $f$ $\implies f''(c) < 0$.
$II.$ આવર્તી વિધેયનું પ્રતિવિકલિત પણ આવર્તી વિધેય હોય છે.
$III.$ જો $f$ નો આવર્તમાન $T$ હોય,તો કોઈપણ $a \in R$ માટે,$\int\limits_0^T {f(x)\,dx} = \int\limits_0^T {f(x + a)\,dx}$.
$IV.$ જો $f(x)$ ને $x = c$ પર મહત્તમ મૂલ્ય હોય,તો $h \to 0$ $(h > 0)$ માટે $f$ એ $(c - h, c)$ માં વધતું અને $(c, c + h)$ માં ઘટતું વિધેય છે. હવે સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.