int frac{dx}{(2sin x + cos x)^2} = | vedclass

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Question

(C) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) से $\cos x$ को बाहर निकाल सकते हैं।$I = \int \frac{

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$\frac{1}{2 + \cot x} + c$

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(C) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) से $\cos x$ को बाहर निकाल सकते हैं।$I = \int \frac{dx}{(\cos x (2	an x + 1))^2} = \int \frac{dx}{\cos^2 x (2	an x + 1)^2}$चूंकि $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$,हमारे पास है:$I = \int \frac{\sec^2 x}{(2	an x + 1)^2} dx$माना $u = 2	an x + 1$. तब $du = 2\sec^2 x dx$,जिसका अर्थ है $\sec^2 x dx = \frac{du}{2}$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$$I = \frac{1}{2} \left( \frac{u^{-1}}{-1} ight) + c = -\frac{1}{2u} + c$$u = 2	an x + 1$ का मान वापस रखने पर:$I = -\frac{1}{2(2	an x + 1)} + c$वैकल्पिक रूप से,प्रश्न में दी गई विधि का उपयोग करते हुए:$I = \int \frac{dx}{\sin^2 x (2 + \cot x)^2} = \int \frac{\csc^2 x}{(2 + \cot x)^2} dx$माना $t = 2 + \cot x$,तो $dt = -\csc^2 x dx$,इसलिए $\csc^2 x dx = -dt$.$I = \int \frac{-dt}{t^2} = \frac{1}{t} + c = \frac{1}{2 + \cot x} + c$.

$\int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2} = $

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यदि $\int \frac{2 x^2+5 x+9}{\sqrt{x^2+x+1}} d x=x \sqrt{x^2+x+1}+\alpha \sqrt{x^2+x+1}+\beta \log _{ e }\left| x +\frac{1}{2}+\sqrt{ x ^2+ x +1}\right|+ C$ है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है,तो $\alpha+2 \beta$ का मान . . . . . . है।

$\int \frac{1}{1 + \cos^2 x} dx = $

यदि $I_n = \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx$ है, तो $2n I_{n+1} - (2n-1) I_n = $

मान लीजिए $\int \frac{2-\tan x}{3+\tan x} dx = \frac{1}{2}(\alpha x + \log_e |\beta \sin x + \gamma \cos x|) + C$,जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है। तो $\alpha + \frac{\gamma}{\beta}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} \, dx = $ (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है)

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