यदि I_n = int frac{1}{(x^2+1)^n} dx है, तो 2n | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $I_n = \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx$ है। $I_n = \int 1 \cdot (x^2+1)^{-n} dx$ पर विचार करें। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए, $u = (x^2+1)

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$\frac{x}{(x^2+1)^n} + c$

Vedclass · Answer

(B) हमारे पास $I_n = \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx$ है। $I_n = \int 1 \cdot (x^2+1)^{-n} dx$ पर विचार करें। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए, $u = (x^2+1)^{-n}$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -n(x^2+1)^{-n-1} \cdot 2x dx = -2nx(x^2+1)^{-n-1} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। $I_n = x(x^2+1)^{-n} - \int x \cdot (-2nx)(x^2+1)^{-n-1} dx$. $I_n = \frac{x}{(x^2+1)^n} + 2n \int \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}} dx$. $I_n = \frac{x}{(x^2+1)^n} + 2n \int \frac{(x^2+1)-1}{(x^2+1)^{n+1}} dx$. $I_n = \frac{x}{(x^2+1)^n} + 2n \left[ \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx - \int \frac{1}{(x^2+1)^{n+1}} dx \right]$. $I_n = \frac{x}{(x^2+1)^n} + 2n I_n - 2n I_{n+1}$. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $2n I_{n+1} = \frac{x}{(x^2+1)^n} + (2n-1) I_n$ प्राप्त होता है। अतः, $2n I_{n+1} - (2n-1) I_n = \frac{x}{(x^2+1)^n} + c$।

यदि $I_n = \int \frac{1}{(x^2+1)^n} dx$ है, तो $2n I_{n+1} - (2n-1) I_n = $

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