फ्लाईव्हील स्टीम इंजन का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है क्योंकि यह

$3 \ kg \cdot m^2$ के जड़त्व आघूर्ण वाला एक पिंड जो $2 \ rad/s$ की कोणीय गति से घूम रहा है,उसकी गतिज ऊर्जा $12 \ kg$ द्रव्यमान वाले उस पिंड के समान है जो ......... $m/s$ की गति से चल रहा है।

$1 \,m$ त्रिज्या और $1 \,kg$ द्रव्यमान वाला एक समान बेलन अपनी अक्ष पर $20 \,rad/s$ के कोणीय वेग से घूम रहा है। एक निश्चित क्षण पर, बेलन को चित्र में दिखाए अनुसार एक कोने में रखा जाता है। क्षैतिज दीवार और बेलन के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है, जबकि ऊर्ध्वाधर दीवार घर्षण रहित है। यदि रुकने से पहले बेलन द्वारा किए गए चक्करों की संख्या $5$ है, तो $\mu$ का मान ज्ञात कीजिए। (गुरुत्वीय त्वरण $g=10 \,m/s^2$)

$1.4 \, m$ लंबी और नगण्य द्रव्यमान वाली एक छड़ के सिरों पर $0.3 \, kg$ और $0.7 \, kg$ के द्रव्यमान स्थित हैं। छड़ को उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परित: एक नियत कोणीय चाल से घुमाया जाता है। छड़ पर वह बिंदु,जिससे अक्ष को गुजरना चाहिए ताकि छड़ को घुमाने के लिए आवश्यक कार्य न्यूनतम हो,होगा:

$L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान की एक पतली समान छड़ अपने केंद्र से गुजरने वाली एक क्षैतिज अक्ष के परितः स्वतंत्र रूप से दोलन कर रही है। इसकी अधिकतम कोणीय गति $\omega$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र कितनी अधिकतम ऊँचाई तक ऊपर उठेगा? [जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है]

एक दृढ़ पिंड की सामान्य गति को $(i)$ द्रव्यमान केंद्र की एक अक्ष के परितः गति,और $(ii)$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष के परितः गति के संयोजन के रूप में माना जा सकता है। ये अक्षें स्थिर होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,एक पतली एकसमान डिस्क पर विचार करें जिसे चित्र में दिखाए अनुसार एक द्रव्यमान रहित छड़ के किनारे पर क्षैतिज रूप से वेल्ड (दृढ़ता से स्थिर) किया गया है। जब डिस्क-छड़ प्रणाली को एक क्षैतिज घर्षण रहित तल पर मूल बिंदु के परितः कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है,तो किसी भी क्षण गति को $(i)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र की $z$-अक्ष के परितः घूर्णन,और $(ii)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली एक तात्क्षणिक ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूर्णन (जैसा कि बिंदुओं $P$ और $Q$ के बदले हुए अभिविन्यास से देखा जा सकता है) के संयोजन के रूप में लिया जा सकता है। इस मामले में दोनों गतियों की कोणीय चाल $\omega$ समान है। अब चित्र में दिखाई गई दो समान प्रणालियों पर विचार करें: स्थिति $(a)$ डिस्क का फलक ऊर्ध्वाधर और $x-z$ तल के समानांतर है; स्थिति $(b)$ डिस्क का फलक $x-y$ तल के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसका क्षैतिज व्यास $x$-अक्ष के समानांतर है। दोनों स्थितियों में,डिस्क को बिंदु $P$ पर वेल्ड किया गया है,और प्रणालियों को $z$-अक्ष के परितः स्थिर कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है।
$1.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के परितः कोणीय चाल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(D)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\omega$ है।
$2.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों $(a)$ और $(b)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल में स्थित है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए क्षैतिज है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
$(D)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।