intlimits_{ - 1}^1 {frac{{{x^3} + |x| + 1}}{{ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3} + |x| + 1}}{{{x^2} + 2|x| + 1}}} dx$ है। चूंकि हर ${x^2} + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ एक सम फलन है,हम सम

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$a = 2; b = 0$

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(B) माना $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3} + |x| + 1}}{{{x^2} + 2|x| + 1}}} dx$ है। चूंकि हर ${x^2} + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ एक सम फलन है,हम समाकलन को विषम और सम भागों में विभाजित कर सकते हैं। $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}}}{{(|x| + 1)^2}}} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{|x| + 1}}{{(|x| + 1)^2}}} dx$। पहला भाग $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3}}}{{(|x| + 1)^2}}} dx$ एक सममित अंतराल $[-1, 1]$ पर एक विषम फलन का समाकलन है,इसलिए यह $0$ के बराबर है। अतः,$I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{1}{{|x| + 1}}} dx$। चूंकि $\frac{1}{{|x| + 1}}$ एक सम फलन है,$I = 2 \int\limits_0^1 {\frac{1}{{x + 1}}} dx$। $I = 2 [\ln(x + 1)]_0^1 = 2(\ln 2 - \ln 1) = 2 \ln 2$। $2 \ln 2$ की तुलना $a \ln 2 + b$ से करने पर,हमें $a = 2$ और $b = 0$ प्राप्त होता है।

$\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^3} + |x| + 1}}{{{x^2} + 2|x| + 1}}} dx = a \ln 2 + b$,तो:

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समाकलन $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+a^x} dx$ का मान,जहाँ $a > 0$,है

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ का मान है

$ \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x $

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left[\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}\right] dx =$

$\int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin^{2/3} x}{\sin^{2/3} x + \cos^{2/3} x} dx$ का मान है

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