int_{-1}^{1} frac{x^{3} + |x| + 3}{x^{2} + 4| | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{3} + |x| + 3}{x^{2} + 4|x| + 3} dx$ है। यहाँ $f(x) = \frac{x^{3} + |x| + 3}{x^{2} + 4|x| + 3}$ है,इसलिए समाकलन को

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{4}{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin 	heta) d	heta$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{3} + |x| + 3}{x^{2} + 4|x| + 3} dx$ है। यहाँ $f(x) = \frac{x^{3} + |x| + 3}{x^{2} + 4|x| + 3}$ है,इसलिए समाकलन को दो भागों में विभाजित करने पर: $I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2} + 4|x| + 3} dx + \int_{-1}^{1} \frac{|x| + 3}{x^{2} + 4|x| + 3} dx$। पहला भाग एक विषम फलन है,इसलिए $[-1, 1]$ पर इसका समाकलन $0$ होगा। दूसरे भाग के लिए,चूंकि $x^2 = |x|^2$,इसलिए $\frac{|x| + 3}{|x|^2 + 4|x| + 3} = \frac{|x| + 3}{(|x| + 1)(|x| + 3)} = \frac{1}{|x| + 1}$। अतः,$I = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} dx = 2 [\ln(x + 1)]_{0}^{1} = 2 \ln 2$। मानक समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin \alpha) d\alpha = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ का उपयोग करने पर,हम पाते हैं कि $- \frac{4}{\pi} (-\frac{\pi}{2} \ln 2) = 2 \ln 2$। अतः,सही विकल्प $B$ है।

$\int_{-1}^{1} \frac{x^{3} + |x| + 3}{x^{2} + 4|x| + 3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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