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Question

(C) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x + k^2]}}{n^3}$ है।गुणधर्म $[a+b] = [a] + b$ का उपयोग करने प

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$\frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x + k^2]}}{n^3}$ है।गुणधर्म $[a+b] = [a] + b$ का उपयोग करने पर,जहाँ $b$ एक पूर्णांक है,हमें $[k^2 x + k^2] = [k^2 x] + k^2$ प्राप्त होता है।अतः,$L = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} [k^2 x]}}{n^3} + \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{k=1}^{n} k^2}}{n^3}$ है।प्रथम भाग के लिए,स्क्वीज़ प्रमेय का उपयोग करने पर,$\sum [k^2 x] \approx \sum k^2 x = x \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \approx \frac{x n^3}{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{\sum [k^2 x]}{n^3} = \frac{x}{3}$ है।दूसरे भाग के लिए,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3} = \frac{1}{3}$ है।इसलिए,$L = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{[{1^2}x + {1^2}] + [{2^2}x + {2^2}] + [{3^2}x + {3^2}] + \dots + [{n^2}x + {n^2}]}}{{{n^3}}}$ का मान ज्ञात कीजिए :- (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है)

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यदि $\sum_{r=1}^{n}(2r-1) = x$ है,तो $\lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left[ \frac{1^3}{x^2} + \frac{2^3}{x^2} + \frac{3^3}{x^2} + \ldots + \frac{n^3}{x^2} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
कथन $1$: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^{2}+b x+c}{c x^{2}+b x+a} = 1$ (जहाँ $a+b+c \neq 0$).
कथन $2$: $\lim _{x \rightarrow -2} \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2} = \frac{1}{4}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\alpha x}} - {e^{\beta x}}}}{x} = $

$\lim _{x \rightarrow 1} (1 + \log _{e} x)^{1 / \log _{e} x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cot x-\cos x}{(\pi-2 x)^3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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