f(x) = cos^{-1}(2x^2 - 1) बिंदु x = a पर अवकल | vedclass

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Question

(C) फलन $f(x) = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$ दिया गया है।हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\cos 	heta) = 	heta$ जहाँ $	heta \in [0, \pi]$ होता है।माना $x = \cos \

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(C) फलन $f(x) = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$ दिया गया है।हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\cos 	heta) = 	heta$ जहाँ $	heta \in [0, \pi]$ होता है।माना $x = \cos 	heta$,तो $2x^2 - 1 = 2\cos^2 	heta - 1 = \cos(2	heta)$.अतः,$f(x) = \cos^{-1}(\cos(2	heta)) = 2	heta = 2\cos^{-1}(x)$ जब $x \in [0, 1]$.$x \in [-1, 0]$ के लिए,फलन $f(x) = 2\cos^{-1}|x|$ के रूप में प्राप्त होता है।$\cos^{-1}(x)$ का अवकलन $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ होता है।फलन $f(x)$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ फलन का मान अपने अंतिम बिंदुओं पर पहुँचता है,यानी $2x^2 - 1 = 1$ या $2x^2 - 1 = -1$.$2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.इसके अतिरिक्त,$x = 0$ पर फलन $f(x) = 2\cos^{-1}|x|$ में एक तीक्ष्ण मोड़ (cusp) है क्योंकि बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज समान नहीं हैं।$x = 0$ पर,बायाँ अवकलज $2$ है और दायाँ अवकलज $-2$ है।अतः,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

$f(x) = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$ बिंदु $x = a$ पर अवकलनीय नहीं है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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फलन $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1}x, & |x| \le 1 \\ \frac{1}{2}(|x| - 1), & |x| > 1 \end{cases}$ के अवकलज का प्रांत ज्ञात कीजिए।

दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 1 + x & x < 0 \\ 2 - 3x & x \geq 0 \end{cases}$,तो क्रांतिक बिंदु $x = \dots \dots$ ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है?

यदि $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f(x)=|x|+|\sin x|$ है,तो $x=0$ पर इसका बायां अवकलज (left hand derivative) क्या है?

$f(x)= \begin{cases} 2a-x & \text{in } -a < x < a \\ 3x-2a & \text{in } a \leq x \end{cases}$
तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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