mathop {lim }limits_{n to infty } ,sumlimits_ | vedclass

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Question

(D) दिया गया सीमा $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 0}^n \frac{n}{(2r + n)^2}$ है।हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\mathop {\

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$\frac{1}{3}$

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(D) दिया गया सीमा $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 0}^n \frac{n}{(2r + n)^2}$ है।हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 0}^n \frac{n}{n^2 (\frac{2r}{n} + 1)^2} = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r = 0}^n \frac{1}{(\frac{2r}{n} + 1)^2}$.निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=0}^n f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$.यहाँ,$x = \frac{r}{n}$ लेने पर,समाकल $\int_0^1 \frac{1}{(2x + 1)^2} dx$ हो जाता है।समाकल का मान: $\int_0^1 (2x + 1)^{-2} dx = [\frac{(2x + 1)^{-1}}{-1 	imes 2}]_0^1 = [-\frac{1}{2(2x + 1)}]_0^1$.सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $(-\frac{1}{2(3)}) - (-\frac{1}{2(1)}) = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{-1 + 3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\sum\limits_{r = 0}^n {\frac{n}{{{{\left( {2r + n} \right)}^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1^2+n^2}+\frac{2}{2^2+n^2}+\frac{3}{3^2+n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

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