એક વર્ગમાં $15$ વિદ્યાર્થીઓ છે જેમની ઉંમર $14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19$ અને $20$ વર્ષ છે. એક વિદ્યાર્થીને એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે દરેકને પસંદ થવાની સમાન તક મળે અને પસંદ કરેલા વિદ્યાર્થીની ઉંમર $X$ નોંધવામાં આવે છે. યાદચ્છિક ચલ $X$ નું સંભાવના વિતરણ શું છે? $X$ નો મધ્યક,વિચરણ અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો.

(A) વર્ગમાં કુલ $15$ વિદ્યાર્થીઓ છે. દરેક વિદ્યાર્થીને પસંદ થવાની સમાન તક છે. તેથી,દરેક વિદ્યાર્થીની પસંદગી થવાની સંભાવના $\frac{1}{15}$ છે. ઉંમરનું આવૃત્તિ વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$
$f$	$2$	$1$	$2$	$3$	$1$	$2$	$3$	$1$

સંભાવના વિતરણ $P(X)$ નીચે મુજબ છે:

$X$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$
$P(X)$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{3}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{3}{15}$	$\frac{1}{15}$

મધ્યક $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{1}{15}(14 \times 2 + 15 \times 1 + 16 \times 2 + 17 \times 3 + 18 \times 1 + 19 \times 2 + 20 \times 3 + 21 \times 1) = \frac{263}{15} \approx 17.53$.
વર્ગોનો મધ્યક $E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = \frac{1}{15}(196 \times 2 + 225 \times 1 + 256 \times 2 + 289 \times 3 + 324 \times 1 + 361 \times 2 + 400 \times 3 + 441 \times 1) = \frac{4683}{15} = 312.2$.
વિચરણ $(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 312.2 - (17.5333)^2 = 312.2 - 307.4177 = 4.7823 \approx 4.78$.
પ્રમાણિત વિચલન $= \sqrt{\text{વિચરણ}} = \sqrt{4.7823} \approx 2.19$.