શંકુઓ $x^2 = 6y$ અને $2x^2 - 4y^2 = 9$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે

ધારો કે વક્ર $y^2 = 24x$ નો સ્પર્શક વક્ર $xy = 2$ ને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં મળે છે. તો આવા રેખાખંડો $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ જે પરવલય પર આવેલા છે તેની

જો અતિવલય $x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$ નો સ્પર્શક એ પરવલય $y^2 = 8x$ નો પણ સ્પર્શક હોય,તો ધન ઢાળ ધરાવતા આવા સ્પર્શકનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે અતિવલય $H : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ બિંદુ $(2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ માંથી પસાર થાય છે. એક પરવલય દોરવામાં આવે છે જેનું નાભિ $H$ ના ધન અભિસિસાવાળા નાભિ જેવું જ છે અને પરવલયની નિયામિકા $H$ ના બીજા નાભિમાંથી પસાર થાય છે. જો પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ એ $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈના $e$ ગણી હોય,જ્યાં $e$ એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે,તો નીચેનામાંથી કયું બિંદુ પરવલય પર આવેલું છે?

અતિવલય $H : x^{2} - y^{2} = 1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે જ્યાં $a > b > 0$,ધારો કે $(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે,અને $(2)$ રેખા $y = \sqrt{\frac{5}{2}} x + K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે. તો $4(a^{2} + b^{2})$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે પરવલય $y^2=12x$ ના બિંદુ $(3, \alpha)$ આગળનો સ્પર્શક રેખા $2x+2y=3$ ને લંબ છે. તો બિંદુ $(6, -4)$ નું અતિવલય $\alpha^2x^2-9y^2=9\alpha^2$ ના બિંદુ $(\alpha-1, \alpha+2)$ આગળના અભિલંબથી અંતરનો વર્ગ $........$ છે.