एक सतत फलन $f: R \rightarrow R$ समीकरण $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ को संतुष्ट करता है। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

मान लीजिए $f : (0, \infty) \to (2, 20)$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $\lim_{x \to \infty} (f(x) + f'(x) + f''(x)) = \lim_{x \to \infty} g(x)$,जहाँ $\lim_{x \to \infty} g(x)$ का अस्तित्व है और यह $5$ के बराबर है,तो $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \left(\frac{2}{\pi} x - 1\right) \operatorname{cosec} x$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + p(x) y = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$ का हल है,जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$,तो फलन $p(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy + (y(x - \sqrt{x^2-1}) - x)dx = 0, x \geq 1$ का हल है। यदि $y(1) = 1$ है, तो $y(\sqrt{5})$ से छोटा महत्तम पूर्णांक . . . . . . है।

अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \rightarrow \infty$ होने पर $y \rightarrow -1$ है।

अवकल समीकरण $(1 + y^2)dx - (\tan^{-1} y - x)dy = 0$ के लिए समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।