એક સતત વિધેય f: R rightarrow R એ સમીકરણ f(x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ છે.કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) =

Vedclass · Accepted Answer

$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ છે.કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 1 + f(x)$ મળે છે.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $f'(x) - f(x) = 1$.સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ વડે ગુણતા: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x}$.$e^{-x} f(x) = \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C$.$f(x) = -1 + C e^x$.કારણ કે $f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) \, dt = 0$,તેથી $0 = -1 + C$,એટલે કે $C = 1$.આમ,$f(x) = e^x - 1$.હવે,$f(x) + f(y) + f(x)f(y) = (e^x - 1) + (e^y - 1) + (e^x - 1)(e^y - 1)$ ધ્યાનમાં લો.$= e^x - 1 + e^y - 1 + e^{x+y} - e^x - e^y + 1$.$= e^{x+y} - 1 = f(x+y)$.તેથી,$f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$.

એક સતત વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) \, dt$ નું સમાધાન કરે છે. નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

$\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x+2y^3) \frac{dy}{dx} = y$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - y = x^3, (x > 0)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module