एक वक्र बिंदु left( 1, frac{pi}{4} right) से | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} \right)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac

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$y = x 	an^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} ight)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} ight)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v$.सरल करने पर: $x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$.चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\cos^2 v} = -\frac{dx}{x}$,जो कि $\sec^2 v \, dv = -\frac{dx}{x}$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$.इससे प्राप्त होता है: $	an v = -\ln |x| + C$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $	an \left( \frac{y}{x} ight) = -\ln x + C$.वक्र बिंदु $(1, \frac{\pi}{4})$ से गुजरता है,इसलिए $	an \left( \frac{\pi/4}{1} ight) = -\ln(1) + C$.चूंकि $	an(\frac{\pi}{4}) = 1$ और $\ln(1) = 0$,इसलिए $1 = 0 + C$,यानी $C = 1$.अतः,$	an \left( \frac{y}{x} ight) = 1 - \ln x = \ln e - \ln x = \ln \left( \frac{e}{x} ight)$.इसलिए,$y = x 	an^{-1} \left( \ln \frac{e}{x} ight)$.

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