एक पासे को तीन बार उछाला जाता है। प्रत्येक बार पिछली संख्या से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

यदि समुच्चय $A=\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}$,$n \geq 8$ से $8$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या,$a_4$ को समाहित करने वाले ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या से पाँच गुना है,तो $n=$

$25$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की एक टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है,यदि उनमें से $6$ को हमेशा शामिल किया जाना है और $5$ को हमेशा बाहर रखा जाना है?

एक दुकान में $5$ प्रकार की आइसक्रीम उपलब्ध हैं। एक बच्चा $6$ आइसक्रीम खरीदता है।
$\text{कथन}-1$: बच्चे द्वारा $6$ आइसक्रीम खरीदने के विभिन्न तरीकों की संख्या $^{10}C_5$ है।
$\text{कथन}-2$: बच्चे द्वारा $6$ आइसक्रीम खरीदने के विभिन्न तरीकों की संख्या एक पंक्ति में $6$ $A$ और $4$ $B$ को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या के बराबर है।

एक बक्से में $2$ सफेद गेंदें,$3$ काली गेंदें और $4$ लाल गेंदें हैं। यदि कम से कम एक काली गेंद को ड्रा में शामिल करना हो,तो बक्से से $3$ गेंदें कितने तरीकों से निकाली जा सकती हैं?

कथन $I$: $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,${}^9C_3$ है।
कथन $II$: $9$ अलग-अलग स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^9C_3$ है।