यदि समुच्चय $A=\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}$,$n \geq 8$ से $8$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या,$a_4$ को समाहित करने वाले ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या से पाँच गुना है,तो $n=$

$4$ अधिकारियों और $8$ कांस्टेबलों में से $6$ व्यक्तियों का चयन कितनी तरह से किया जा सकता है कि कम से कम एक अधिकारी शामिल हो?

$n$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए ताकि ${ }^{(n-1)} C_3 + { }^{(n-1)} C_4 > { }^n C_3$ हो।

मान लीजिए $n$ और $k$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि $n \ge \frac{k(k + 1)}{2}$ है। $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ को संतुष्ट करने वाले $(x_1, x_2, ..., x_k)$ हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $x_1 \ge 1, x_2 \ge 2, ..., x_k \ge k$ सभी पूर्णांक हैं।

$6$ '$+$' और $4$ '$*$' चिह्नों को एक पंक्ति में कितनी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि कोई भी दो '$*$' चिह्न एक साथ न आएं?

एक छात्र को $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जिसमें भाग $A$ और $B$ प्रत्येक से कम से कम $4$ प्रश्न चुनने हैं। यदि भाग $A$ में $6$ प्रश्न और भाग $B$ में $7$ प्रश्न हैं,तो छात्र $10$ प्रश्नों को कितनी तरह से चुन सकता है?