એક વિધેય y = f(x) એ વિકલ સમીકરણ f(x) sin 2x - | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) \frac{dy}{dx} = 0$ છે,જ્યાં $y = f(x)$.પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\sin

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{5}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) \frac{dy}{dx} = 0$ છે,જ્યાં $y = f(x)$.પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}\right) y = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}$ અને $Q(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} dx}$ છે.ધારો કે $u = 1 + \sin^2 x$,તો $du = \sin 2x dx$. તેથી,$\int P(x) dx = \int \frac{du}{u} = \ln(1 + \sin^2 x)$.આમ,$I$.$F$. $= e^{\ln(1 + \sin^2 x)} = 1 + \sin^2 x$.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y(1 + \sin^2 x) = \int \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x} \cdot (1 + \sin^2 x) dx + C = \int \cos x dx + C = \sin x + C$.$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0(1 + 0) = \sin(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.તેથી,$f(x) = \frac{\sin x}{1 + \sin^2 x}$.$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sin(\pi/6)}{1 + \sin^2(\pi/6)} = \frac{1/2}{1 + (1/2)^2} = \frac{1/2}{5/4} = \frac{2}{5}$.

એક વિધેય $y = f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $f(x) \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) f'(x) = 0$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $f(0) = 0$ છે. તો $f(\frac{\pi}{6})$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1+y^{2})+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2(y + 2) \log_e(y + 2) dx + (x + 4 - 2 \log_e(y + 2)) dy = 0$,$y > -1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x(e^4 - 2) = 1$ છે. તો $x(e^9 - 2)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=(y+1)((y+1)e^{x^{2}/2}-x)$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(2)=0$ છે. તો $y'(1)$ ની કિંમત . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $(\tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module