ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}=(y+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $Y = y+1$. તેથી $\frac{dY}{dx} = \frac{dy}{dx}$.સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dY}{dx} = Y^{2}e^{x^{2}/2} - xY$.આ એક બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છે. $Y^{

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-e^{3/2}}{(e^{2}+1)^{2}}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $Y = y+1$. તેથી $\frac{dY}{dx} = \frac{dy}{dx}$.સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dY}{dx} = Y^{2}e^{x^{2}/2} - xY$.આ એક બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છે. $Y^{2}$ વડે ભાગતા: $Y^{-2}\frac{dY}{dx} + xY^{-1} = e^{x^{2}/2}$.ધારો કે $v = Y^{-1} = \frac{1}{y+1}$. તેથી $\frac{dv}{dx} = -Y^{-2}\frac{dY}{dx}$,જેથી $-\frac{dv}{dx} + xv = e^{x^{2}/2}$,અથવા $\frac{dv}{dx} - xv = -e^{x^{2}/2}$.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -x dx} = e^{-x^{2}/2}$ છે.$I.F.$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(v e^{-x^{2}/2}) = -1$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $v e^{-x^{2}/2} = -x + C$,તેથી $v = (-x+C)e^{x^{2}/2}$.કારણ કે $v = \frac{1}{y+1}$,આપણને મળે $y+1 = \frac{1}{(-x+C)e^{x^{2}/2}}$.$y(2)=0$ આપેલ છે,તેથી $1 = \frac{1}{(-2+C)e^{2}}$,જેનો અર્થ છે $-2+C = e^{-2}$,એટલે કે $C = 2+e^{-2}$.આમ,$y+1 = \frac{1}{(-x+2+e^{-2})e^{x^{2}/2}}$.$x=1$ માટે,$y+1 = \frac{1}{(-1+2+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{1}{(1+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$.મૂળ સમીકરણ પરથી,$y'(1) = (y(1)+1)((y(1)+1)e^{1/2}-1)$.$y(1)+1 = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$ મૂકતા: $y'(1) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \cdot e^{1/2} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{2}}{e^{2}+1} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{-1}{e^{2}+1} \right) = \frac{-e^{3/2}}{(e^{2}+1)^{2}}$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=(y+1)((y+1)e^{x^{2}/2}-x)$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(2)=0$ છે. તો $y'(1)$ ની કિંમત . . . . છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x+2y^3) \frac{dy}{dx} = y$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$ નો ઉકેલ શોધો.

$(x+y+1) \frac{dy}{dx} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ નો ઉકેલ હોય,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module