मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(y+1)((y+1)e^{x^{2}/2}-x)$ का हल है,जहाँ $y(2)=0$ है। तो $y'(1)$ का मान . . . . है।

मान लीजिए कि $f(x)$ एक अवकलनीय वास्तविक फलन है,इस प्रकार कि सभी $x$ के लिए $f(x) + f'(x) \le 1$ और $f(0)=0$ है। $f(1)$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

अवकल समीकरण $dx = (2x + 3y - 4) dy$ का व्यापक हल है

अवकल समीकरण $\sin y \left(\frac{d y}{d x}\right) = \cos y (1 - x \cos y)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

सभी $x > 0$ के लिए,मान लीजिए $y_1(x), y_2(x)$,और $y_3(x)$ ऐसे फलन हैं जो $\frac{dy_1}{dx} - (\sin x)^2 y_1 = 0, y_1(1) = 5$; $\frac{dy_2}{dx} - (\cos x)^2 y_2 = 0, y_2(1) = \frac{1}{3}$; और $\frac{dy_3}{dx} - \left(\frac{2-x^3}{x^3}\right) y_3 = 0, y_3(1) = \frac{3}{5e}$ को संतुष्ट करते हैं। तो $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{y_1(x) y_2(x) y_3(x) + 2x}{e^{3x} \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $y^{\prime}-y \tan x=2 x \sec x$ और $y(0)=0$ को संतुष्ट करता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$
$(B)$ $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi^2}{9}$
$(C)$ $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}} + \frac{\pi}{\sqrt{2}}$
$(D)$ $y'(\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi^2\sqrt{3}}{9}$