$90\, cm$ की ऊँचाई वाली एक लड़की $1.2\, m/s$ की चाल से एक लैंप-पोस्ट के आधार से दूर जा रही है। यदि लैंप भूमि से $3.6\, m$ की ऊँचाई पर है,तो $4\, \text{सेकंड}$ के बाद उसकी छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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(N/A) मान लीजिए $AB$ लैंप-पोस्ट है और $CD$ लैंप-पोस्ट से $4\, \text{सेकंड}$ तक दूर चलने के बाद लड़की की स्थिति है।
आकृति से,आप देख सकते हैं कि $DE$ लड़की की छाया है। मान लीजिए $DE = x$ मीटर है।
अब,$BD = 1.2\, m/s \times 4\, s = 4.8\, m$.
ध्यान दें कि $\Delta ABE$ और $\Delta CDE$ में:
$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$ (प्रत्येक $90^{\circ}$ है क्योंकि लैंप-पोस्ट और लड़की दोनों जमीन पर लंबवत खड़े हैं)।
$\angle E = \angle E$ (उभयनिष्ठ कोण)।
अतः,$\Delta ABE \sim \Delta CDE$ ($AA$ समरूपता कसौटी से)।
इसलिए,$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$.
यहाँ $AB = 3.6\, m$ और $CD = 90\, cm = 0.9\, m$ दिया गया है।
$\frac{4.8 + x}{x} = \frac{3.6}{0.9}$.
$\frac{4.8 + x}{x} = 4$.
$4.8 + x = 4x$.
$3x = 4.8$.
$x = 1.6\, m$.
अतः,$4\, \text{सेकंड}$ तक चलने के बाद लड़की की छाया की लंबाई $1.6\, m$ है।

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चतुर्भुज $ABCD$ में,$AB = AD$ है। $\angle BAC$ का समद्विभाजक $\overline{BC}$ को $E$ पर प्रतिच्छेद करता है और $\angle DAC$ का समद्विभाजक $\overline{DC}$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $\overline{EF} \parallel \overline{BD}$ है।

आकृति में,$DE \parallel AC$ और $DF \parallel AE$ है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC}$ है।

$\Delta ABC$ में,यदि $\ldots \ldots \ldots \ldots$ है,तो अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार,$AB^{2} + AC^{2} = 2(AD^{2} + BD^{2})$ सत्य है।

$\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$ एक माध्यिका है। यदि $AB = 8$ और $AD = BD = 8.5$ है,तो $AC$ ज्ञात कीजिए।

$\Delta ABC$ में,$m\angle B = 90^{\circ}$,$N \in \overline{AB}$ और $M \in \overline{BC}$ है। सिद्ध कीजिए कि $AM^{2} + CN^{2} = AC^{2} + MN^{2}$।

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