2, 1, 2 दिक-अनुपात वाली एक रेखा,रेखाओं x = y | vedclass

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Question

(B) माना $P$ रेखा $x = y + 2 = z = t$ पर एक बिंदु है। तब $P = (t, t - 2, t)$ है।माना $Q$ रेखा $x + 2 = 2y = 2z = 2s$ पर एक बिंदु है। तब $Q = (2s - 2,

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$65$

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(B) माना $P$ रेखा $x = y + 2 = z = t$ पर एक बिंदु है। तब $P = (t, t - 2, t)$ है।माना $Q$ रेखा $x + 2 = 2y = 2z = 2s$ पर एक बिंदु है। तब $Q = (2s - 2, s, s)$ है।रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $(2, 1, 2)$ दिए गए हैं।अतः,सदिश $\vec{PQ}$ के दिक-अनुपात $(2s - 2 - t, s - (t - 2), s - t) = (2s - t - 2, s - t + 2, s - t)$ हैं।चूंकि रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $(2, 1, 2)$ हैं,हमारे पास है:$\frac{2s - t - 2}{2} = \frac{s - t + 2}{1} = \frac{s - t}{2} = k$ (माना)।$\frac{s - t + 2}{1} = \frac{s - t}{2}$ से,हमें $2s - 2t + 4 = s - t$ मिलता है,अर्थात $s - t = -4$।$s - t = -4$ को अनुपातों में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{2s - t - 2}{2} = \frac{-4 + 2}{1} = -2$,इसलिए $2s - t - 2 = -4$,जिसका अर्थ है $2s - t = -2$।$s - t = -4$ और $2s - t = -2$ को हल करने पर,हमें $s = 2$ और $t = 6$ प्राप्त होता है।अतः,$P = (6, 4, 6)$ और $Q = (2, 2, 2)$ है।रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 2}{2} = \lambda$ है।$PQ$ पर कोई भी बिंदु $F = (2\lambda + 2, \lambda + 2, 2\lambda + 2)$ है।माना $A = (1, 2, 12)$ है। सदिश $\vec{AF} = (2\lambda + 1, \lambda, 2\lambda - 10)$ है।चूंकि $AF \perp PQ$,इसलिए $\vec{AF} \cdot (2, 1, 2) = 0$ है।$2(2\lambda + 1) + 1(\lambda) + 2(2\lambda - 10) = 0$।$4\lambda + 2 + \lambda + 4\lambda - 20 = 0 \Rightarrow 9\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 2$।अतः $F = (6, 4, 6)$ है।लंबाई $l = AF = \sqrt{(6 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (6 - 12)^2} = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 4 + 36} = \sqrt{65}$ है।इसलिए,$l^2 = 65$।

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यदि रेखाएँ $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{2k} = \frac{z - 3}{2}$ और $\frac{x - 1}{3k} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 6}{-5}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो $k = \dots$

उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ $(5, 1, 6)$ और $(3, 4, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा $ZX$-समतल को काटती है।

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