એક ઉત્પાદક બાઇકના બે મોડેલ બનાવે છે: મોડેલ $X$ અને મોડેલ $Y$. મોડેલ $X$ ને બનાવવા માટે પ્રતિ એકમ $6$ માનવ-કલાક લાગે છે,જ્યારે મોડેલ $Y$ ને પ્રતિ એકમ $10$ માનવ-કલાક લાગે છે. અઠવાડિયામાં કુલ $450$ માનવ-કલાક ઉપલબ્ધ છે. મોડેલ $X$ અને $Y$ માટે હેન્ડલિંગ અને માર્કેટિંગ ખર્ચ અનુક્રમે $Rs. 2000$ અને $Rs. 1000$ પ્રતિ એકમ છે. આ હેતુઓ માટે ઉપલબ્ધ કુલ ભંડોળ અઠવાડિયાના $Rs. 80,000$ છે. મોડેલ $X$ અને $Y$ માટે પ્રતિ એકમ નફો અનુક્રમે $Rs. 1000$ અને $Rs. 500$ છે. મહત્તમ નફો મેળવવા માટે ઉત્પાદકે દરેક મોડેલની કેટલી બાઇક બનાવવી જોઈએ? મહત્તમ નફો શોધો.
(A) ધારો કે ઉત્પાદક $x$ નંગ મોડેલ $X$ અને $y$ નંગ મોડેલ $Y$ બાઇક બનાવે છે.
મોડેલ $X$ માટે $6$ માનવ-કલાક અને મોડેલ $Y$ માટે $10$ માનવ-કલાક પ્રતિ એકમ લાગે છે. અઠવાડિયામાં કુલ $450$ માનવ-કલાક ઉપલબ્ધ છે.
$\therefore 6x + 10y \leq 450 \Rightarrow 3x + 5y \leq 225$
હેન્ડલિંગ અને માર્કેટિંગ ખર્ચ અનુક્રમે $Rs. 2000$ અને $Rs. 1000$ પ્રતિ એકમ છે,અને કુલ ભંડોળ $Rs. 80,000$ પ્રતિ અઠવાડિયું છે.
$\therefore 2000x + 1000y \leq 80000 \Rightarrow 2x + y \leq 80$
વધુમાં,$x \geq 0, y \geq 0$.
આપણે નફાનું વિધેય $Z = 1000x + 500y$ ને નીચેની શરતોને આધીન મહત્તમ બનાવવાનું છે:
$3x + 5y \leq 225$
$2x + y \leq 80$
$x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(0,0), (40,0), (25,30),$ અને $(0,45)$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
મહત્તમ નફો $Rs. 40,000$ છે. આ કિંમત $(40,0)$ અને $(25,30)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના કોઈપણ બિંદુએ મળે છે. આમ,ઉત્પાદક મહત્તમ નફો મેળવવા માટે $40$ નંગ મોડેલ $X$ અને $0$ નંગ મોડેલ $Y$,અથવા $25$ નંગ મોડેલ $X$ અને $30$ નંગ મોડેલ $Y$ બનાવી શકે છે.
મોડેલ $X$ માટે $6$ માનવ-કલાક અને મોડેલ $Y$ માટે $10$ માનવ-કલાક પ્રતિ એકમ લાગે છે. અઠવાડિયામાં કુલ $450$ માનવ-કલાક ઉપલબ્ધ છે.
$\therefore 6x + 10y \leq 450 \Rightarrow 3x + 5y \leq 225$
હેન્ડલિંગ અને માર્કેટિંગ ખર્ચ અનુક્રમે $Rs. 2000$ અને $Rs. 1000$ પ્રતિ એકમ છે,અને કુલ ભંડોળ $Rs. 80,000$ પ્રતિ અઠવાડિયું છે.
$\therefore 2000x + 1000y \leq 80000 \Rightarrow 2x + y \leq 80$
વધુમાં,$x \geq 0, y \geq 0$.
આપણે નફાનું વિધેય $Z = 1000x + 500y$ ને નીચેની શરતોને આધીન મહત્તમ બનાવવાનું છે:
$3x + 5y \leq 225$
$2x + y \leq 80$
$x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(0,0), (40,0), (25,30),$ અને $(0,45)$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
| શિરોબિંદુઓ | $Z = 1000x + 500y$ ની કિંમત |
| $(0,0)$ | $0$ |
| $(40,0)$ | $1000(40) + 500(0) = 40000$ |
| $(25,30)$ | $1000(25) + 500(30) = 25000 + 15000 = 40000$ |
| $(0,45)$ | $1000(0) + 500(45) = 22500$ |
મહત્તમ નફો $Rs. 40,000$ છે. આ કિંમત $(40,0)$ અને $(25,30)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના કોઈપણ બિંદુએ મળે છે. આમ,ઉત્પાદક મહત્તમ નફો મેળવવા માટે $40$ નંગ મોડેલ $X$ અને $0$ નંગ મોડેલ $Y$,અથવા $25$ નંગ મોડેલ $X$ અને $30$ નંગ મોડેલ $Y$ બનાવી શકે છે.
Explore More
Similar Questions
$z = 3x + 5y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત, $x \leq 80$, $y \geq 60$, $x + y \leq 200$ અને $x, y \geq 0$ મર્યાદાઓને આધીન, કયા બિંદુએ મળે છે:
DifficultMHT CET 2026
View Solutionએક ઉત્પાદન કંપની બે વસ્તુઓ,$A$ અને $B$ બનાવે છે. દરેક વસ્તુને બે મશીનો,$I$ અને $II$ દ્વારા પ્રોસેસ કરવી પડે છે. મશીન $I$ મહત્તમ $10$ કલાક $40$ મિનિટ ($640$ મિનિટ) માટે ચલાવી શકાય છે. વસ્તુ $A$ માટે $20$ મિનિટ અને વસ્તુ $B$ માટે $15$ મિનિટ લાગે છે. મશીન $II$ મહત્તમ $8$ કલાક $20$ મિનિટ ($500$ મિનિટ) માટે ચલાવી શકાય છે. વસ્તુ $A$ માટે $5$ મિનિટ અને વસ્તુ $B$ માટે $8$ મિનિટ લાગે છે. વસ્તુ $A$ દીઠ નફો ₹ $25$ અને વસ્તુ $B$ દીઠ નફો ₹ $18$ છે. નફો મહત્તમ કરવા માટે $L.P.P.$ નું સૂત્રીકરણ (જ્યાં $x$ એ વસ્તુ $A$ ની સંખ્યા છે અને $y$ એ વસ્તુ $B$ ની સંખ્યા છે) . . . . . . છે.
એક ફેક્ટરી બે પ્રકારના સ્ક્રૂ, $A$ અને $B$ બનાવે છે. દરેક પ્રકારના સ્ક્રૂ માટે બે મશીનોનો ઉપયોગ જરૂરી છે, એક ઓટોમેટિક અને એક હાથથી ચાલતું. સ્ક્રૂ $A$ નું એક પેકેજ બનાવવા માટે ઓટોમેટિક મશીન પર $4 \, \text{મિનિટ}$ અને હાથથી ચાલતા મશીન પર $6 \, \text{મિનિટ}$ લાગે છે, જ્યારે સ્ક્રૂ $B$ નું એક પેકેજ બનાવવા માટે ઓટોમેટિક મશીન પર $6 \, \text{મિનિટ}$ અને હાથથી ચાલતા મશીન પર $3 \, \text{મિનિટ}$ લાગે છે. દરેક મશીન કોઈપણ દિવસે વધુમાં વધુ $4 \, \text{કલાક}$ માટે ઉપલબ્ધ છે. ઉત્પાદક સ્ક્રૂ $A$ ના પેકેજ પર $Rs. \, 7$ અને સ્ક્રૂ $B$ ના પેકેજ પર $Rs. \, 10$ નો નફો મેળવી શકે છે. તે જે પણ સ્ક્રૂ બનાવે છે તે બધા વેચી શકે છે તેમ માનીને, ફેક્ટરીના માલિકે તેનો નફો મહત્તમ કરવા માટે દિવસમાં દરેક પ્રકારના કેટલા પેકેજ બનાવવા જોઈએ? મહત્તમ નફો નક્કી કરો.
Difficult
View Solutionહેતુલક્ષી વિધેય $z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો,જે શરતો $x + 2y \geq 80$,$3x + y \geq 75$ અને $x, y \geq 0$ ને આધીન છે:
બે પ્રકારના ખાતર $F_{1}$ અને $F_{2}$ છે. $F_{1}$ માં $10\%$ નાઈટ્રોજન અને $6\%$ ફોસ્ફોરિક એસિડ છે અને $F_{2}$ માં $5\%$ નાઈટ્રોજન અને $10\%$ ફોસ્ફોરિક એસિડ છે. જમીનની સ્થિતિ તપાસ્યા પછી,ખેડૂતને જાણવા મળે છે કે તેને તેના પાક માટે ઓછામાં ઓછા $14\,kg$ નાઈટ્રોજન અને $14\,kg$ ફોસ્ફોરિક એસિડની જરૂર છે. જો $F_{1}$ ની કિંમત $Rs\,6/kg$ અને $F_{2}$ ની કિંમત $Rs\,5/kg$ હોય,તો ન્યૂનતમ ખર્ચે પોષક તત્વોની જરૂરિયાત પૂરી કરવા માટે દરેક પ્રકારના ખાતરનો કેટલો ઉપયોગ કરવો જોઈએ તે નક્કી કરો. ન્યૂનતમ ખર્ચ કેટલો છે?
Difficult
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo